- سلسلة -3 ترين : 1 حل التمرين : 1 [ 0,+ [ f ( x)=ln( x+1+ x 2 +2 x) بما يلي : وليكن (C) منحناها في معلم متعامد ممنظم

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "- سلسلة -3 ترين : 1 حل التمرين : 1 [ 0,+ [ f ( x)=ln( x+1+ x 2 +2 x) بما يلي : وليكن (C) منحناها في معلم متعامد ممنظم"

Τιτάνος Λούπης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 تارين وحلول ف دراسة الدوال اللوغاريتمية والسية - سلسلة -3 ترين [ 0,+ [ نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي المعرفة f ( )=ln( ) بما يلي. (O, i, j) وليكن منحناها في معلم متعامد ممنظم ) ln يرمز إلى اللوغاريتم النبيري) 0,5 ). أحسب النهاية ) f ( - أدرس قابلية اشتقاق الدالة f اليمين في الصفر واعط تأويل هندسيا للنتيجة 2- أ) المحصل عليها. ),5 ( h 0 ln(+h) = h (يمكن استعمال النهاية,5 ). f أحسب ب) ) f ' ( وادرس إشارتها ثم اعط جدول تغيرات الدالة أدرس الفرع اللنهائي للمنحنى. ) -3 أنشىء المنحنى. ) -4 ). f ( ) J [ 0,+ [ بين أن f تقابل من نحو مجال يتعين تحديده وأحسب -5 حل التمرين - نهاية f عند =+ لدينا

2 f ( )=+ إذن 0 دراسة قابلية اشتقاق f اليمين في 2- أ) f ( ) f (0) = ln( ) R+* من لكل ln( ) = h 0 + ln(+h) = h وبما أن = و =+ + 2 f () f (0) = فإن.0 وبالتالي فإن f غير قابلة للشتقاق اليمين في * التأويل الهندسي O(0,0) المنحنى يقبل يمين النقطة نصف مماس رأسي موجه نحو ال. ب) تغيرات f R+* الدالة f قابلة للشتقاق ومنه جدول تغيرات الدالة f 0 + f ' ( ) + + f () 0 2

3 2- دراسة الفرع اللنهائي بجوار + f ( ) = ln ( ) لدينا = ln + ln ( ) =0+0=0 إذن المنحنى يقبل بجوار + فرعا شلجميا اتجاهه محور الفاصيل. -4 إنشاء 3

4 J لنبين أن f 5- * تقابل من *+R نحو الدالة f متصلة وتزايدية قطعا *+R J= f (R + )=[ 0,+ [ إذن f تقابل من *+R نحو f وبالتالي فهي تقبل دالة عكسية معرفة من +R نحو +R * حساب ) f ( y و لدينا عنصرين من +R f ( )= y f ( y)= لدينا ln ( y++ y 2 +2 y)= ln( y++ y 2 +2 y)=ln e y++ y 2 +2 y=e y 2 +2 y=e y ( y 2 +2 y) 2 =(e y ) 2 y 2 +2 y=e 2 + y y e 2e +2 y 2 y e =e 2 2e + 2 y e =(e ) 2 y= (e ) 2 2e R+ من f = (e ) 2 2e إذن لكل 4

5 ترين 2 نعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي f ( )=2 2 +ln. (O, i, j) وليكن ) ( المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم 0,5 ). أعط مجموعة تعريف الدالة f - أ) 0,5 ). E=]0,+ [ f ب) بين أنه يمكن الكتفاء بدراسة المجال 0 وعند +. ),5 أحسب نهايتي f اليمين في 2- أ) E f ب) أدرس تغيرات ثم ضع جدول تغيراتها. ),5 0,5 ). + أدرس الفرع اللنهائي للمنحنى ) ) في 3- أ) ( ) ب) بين أن المنحنى يقبل نقطة انعطاف أفصولها موجب ثم حدد أرتوبها أنشيء المنحنى ) (. ),5 m =me 2 ج) ناقش مبيانيا عدد حلول المعادلة حيث عدد حقيقي موجب قطعا. ) حل التمرين 2 f تحديد أ) D f مجموعة تعريف - ليكن عنصرا من R D f >0 لدينا 0 0 D f =],0[ ]0,+ [ إذن 5

6 D f بما أن ب) f دالة زوجية لن لكل لدينا من f ( )= f ( ) و ( ) D f E=]0,+ [ فإنه يمكن الكتفاء بدراسة f المجال f ( )=2 2 +ln E ولدينا لكل من 2- أ) * نهاية f اليمين في الصفر 0 + f ( )= ln = 0 + باستعمال النتيجة نجد أن محور الراتيب هو إذا مقارب رأسي للمنحنى ) ) * نهاية f عند + ( + ل يمكن حساب هذه النهاية مباشرة (شكل غير محدد ]0,+ [ من لدينا لكل f ()=2 2 +ln =2 2 (. 2 ln ) 2) = 2 2 ( ln = 2 2 ( ln ) ln = t + ln t t =0 وبما أن f ( )= فإن 6

7 E ب) تغيرات f E E الدالة f قابلة للشتقاق ولدينا لكل من f ' ( )= = + = E ومنه جدول تغيرات f 0 + f ' ( ) f () 3- أ) دراسة الفرع اللنهائي بجوار + f ( ) = 2 2 +ln لدينا = ln f ( ) =0 ln وبالستعمال النتيجة 0= نجد أن وهذا يعني أن المنحنى يقبل بجوار + فرعا شلجميا اتجاهه محور الفاصيل. ( ) 7

8 ب) نقطة النعطاف الدالة f قابلة للشتقاق مرتين *+R R+* ولدينا لكل من f ' ' = = = =me 2 ]0,+ [ الجدول التالي يعطي إشارة ) f ' ' ( في المجال f ' ' ( ) - + C f.4 f ' ' من خلل الجدول يتبين أن الدالة تنعدم مع تغيير الشارة في العدد 4 وأرتوبها 2) f (4)=2( +ln وهذا يعني أن المنحنى ) ) يقبل نقطة انعطاف أفصولها 8

9 * إنشاء 9

10 ب) عدد حلول المعادلة =me 2 حيث R+* m R + مجموعة تعريف المعادلة (E) هي (E) وباعتبار أن العدد 0 ليس حل للمعادلة فإننا سنحل هذه المعالة في *+R R+* من لدينا لكل =me 2 ln =ln m+lne 2 ln =ln m+2 ln 2 +2=2+ln m f ( )=2+ln m إذن عدد حلول المعادلة هو عدد نقط تقاطع ( ) منحنى قصور الدالة *+R مع المستقيم ( ) ذي f (E) المعادلة y=2+ln m ومنه 2+ln m>0 * إذا كان ln m> 2 m>e 2 أي أي فإن ( ) و ( ) ل يتقاطعان. وهذا يعني أنه إذا كان فإن المعادلة (E) ليس لها أي حل. m>e 2 2+ln m=0 * إذا كان m=e 2 أي فإن ( ) و ( ) يتقاطعان في نقطة واحدة. 0

11 ( (E) m=e 2 وهذا يعني أنه إذا كان فإن المعادلة تقبل حل وحيدا (هو العدد 2+ln m<0 * إذا كان m<e 2 أي (E) 0<m<e 2 فإن ( ) و ( ) يتقاطعان في نقطتين اثنتين وهذا يعني أنه إذا كان فإن المعادلة تقبل حلين اثنين. وسنلخص هذه النتائج في الجدول التالي m 0 e 2 + عدد حلول حلن اثنان ل حلول المعادلة (E) حل وحيد هو ترين 3 نعتبر الدالة f المعرفة منR نحوR بما يلي f ()= +ln. (O, i, j) و منحناها في معلم متعامد ممنظم 0,5 ). f - أ) حدد D f حيز تعريف الدالة ). I(,) ب) بين أن النقطة مركز تماثل للمنحنى ثم ضع =],+ [ E D

12 ). أحسب نهايتي f عند محدي -2 ],2] f أحسب ) f ' ( واستنتج أن تزايدية 3- أ) وتناقصية 2,+ [ [. ),5 0,25 ). ب) حدد جدول تغيرات الدالة f حدد احداثيتي نقطة انعطاف. ) 0,75 4- أ) 0,5 ). (D) y= ب) حدد احداثيتي نقطة تقاطع والمستقيم. 0 =+ e D f أنشىء ج) ومماسه في النقطة التي أفصولها ) ( e و 0,3 e,6) حل التمرين 3 - تحديد أ) D f D f ={ R / 0 } لدينا D f = R -{} = ],[ ],+ [ إذن لنبين أن ب) (,) I مركز تماثل للمنحنى f (2. )=2. f ( ) لذلك سنبين أن D f f (2 )+ f ( )=2 أي من لكل 2

13 f (2 )+ f ( )= 2 +ln 2 +ln( ) + 2 = 2 +ln + +ln ( ) بالفعل لدينا = 2+ ln + +ln = 2 2 2( ) = =2. f ( )= +ln( ) ملحظة من لكل -2 نهايتا f عند محدي =+ + )= +ln( و + * لدينا + f ( )= + ( +ln( )). = إذن = ملحظة المستقيم ذو المعادلة هو مقارب رأسي للمنحنى f ()= +ln( ) * لكل من = = وبما أن ln( ) = ln t t و 0= 3

14 f ( )=+0= فإن. + y= ملحظة المستقيم (D) ذو المعادلة هو مقارب أفقي للمنحنى بجوار تغيرات أ) f -3 الدالة f قابلة للشتقاق ولدينا من f ' ( )= (+ ( ) ln( ) ) = + ln( ) ( ) 2 ( ) 2 = ln( ) ( ) 2 ln( ) إشارة ) f ' ( هي إشارة l ( )=0 ln( )=0 من لكل = =2 و ) 0 l ( ) 0 ln( 2 و 2 l ( ) 0 4

15 . [ 2,+ [ ],+ ] وهذا يعني أن الدالة f تزايدية المجال وتناقصية المجال D f ب) جدول تغيرات f [ 0,[ مماثل المجال [,2[ بالنسبة للعدد هو المجال هو,0] ] ومماثل 2,+ [ [ بالنسبة للعدد [ 0,[ f ],2] وبما أن f تزايدية فإن تزايدية كذلك ],0] [ 2,+ [ وبما أن f تناقصية فإنها تناقصية كذلك D f ومنه جدول تغيرات الدالة f f ' ( ) f () 0 أ) نقطة انعطاف -4 الدالة f قابلة للشتقاق مرتين ولدينا لكل من f ' ' =.( )2 2( )ln( ) 2ln( ) = ( ) 4 ( ) 3 2 ln( ) إشارة ) f ' ' ( هي إشارة 2 ln( ) =0 ln( ) 2 = من لكل ( ) 2 =e 5

16 ( >0 (لن = e =+ e 2 ln( ) >0 =+ e و ( ) 2 >e > e >+ e و 2 ln( ) <0 <+ e ويمكن تلخيص هذه النتائج في الجدول التالي + e + f ' ' ( ) - + تقعر + e f ' ' الدالة تنعدم مع تغيير الشارة في + e J إذن المنحنى يقبل نقطة انعطاف أفصولها f (+ e)=+ 3 2 e وأرتوبها ب) نقطة انعطاف والمقارب الفقي f ()= +ln( )= من لكل ln( )= 6

17 ln( )=ln e = e =+ e A( + e, ) (D) إذن المنحنى يقطع المقارب في النقطة J إنشاء ب) ومماسه في النقطة 7

18 y= 2e ++2e+4 e 2e J * معادلة ديكارتية لمماس في النقطة هي J مماثل النقطة J '( e, 3 e 2e ) * النقطة بالنسبة للنقطة (,)I هي كذلك نقطة انعطاف للمنحنى ترين 4 { f ()= 2. ( +2 ln ), >0 f (0)=0 نعتبر الدالة العددية f بحيث.0 بين أن f - قابلة للشتقاق اليمين في. f 2- حدد الفرع اللنهائي ل منحنى. f اعط جدول تغيرات. 0< f ' ( )=4. ln 3- بين أن 4- أ) أدرس تقعر. ب) حدد تقاطع ومحور الفاصيل.. (O, i, j) أنشىء ج) في معلم متعامد ممنظم ( e 2 0,4 ; e 0,4 ; e,6 (نأخذ حل التمرين 4 f قابلة للشتقاق يمين 0 - f () f (0) = 2 ( +2ln ) 0 0 R ليكن عنصرا من لدينا + * = ( +2ln ) 8

19 f ( ) f (0) = >0 >0 ( +2ln ) ومنه = ( 2 ln ) 0 >0 = 0 ( ( ln )=0 0 >0 (لن f d ' (0)=0 0 ولدينا f إذن قابلة للشتقاق يمين 2- الفرع اللنهائي ل f ( )= 2 ( +2ln )=+ * لدينا ( 2 =+ (لن )=+ ( +2 ln و f ( ) * لنحسب 2 ( +2ln ) = ( +2ln )=+ لدينا + إذن يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الراتيب بجوار -2 حساب ) f ' ( R + * ليكن عنصرا من 9

20 f ' ( )=[ 2 ( +2ln )] ' لدينا = 2 ( +2ln )+ 2( 2 ) = 2 ( +2ln )+2 = 2 +4 ln +2 >0 f ' ( )=4 ln إذن f ' ( )>0 4 ln >0 ولدينا ( >0 (لن ln >0 > R + * ليكن عنصرا من f ' ( )=0 4 ln =0 لدينا أو =0 ln =0 أو =0 = جدول تغيرات f 0 + f ' ( ) f () - f ()=() 2 ( +2 ln)= 20

21 2- أ) تقعر f ' ( )=4 ln R + * ليكن لدينا عنصرا من f ' ' ( )=(4 ln ) ' ومنه = 4( ln +. ) = 4(ln +) f ' ' ( )=0 ln +=0 ومنه ln = =e f ' ' ( )>0 4(ln +)>0 ln > >e [ 0,e ] [e,+ [ إذن جزء محدب وجزء غير محدب. (e, 3e 2 ) (e, f (e ( ) )) و يقبل نقطة انعطاف أي ب) تقاطع ومحور الفاصيل ليكن عنصرا من +R 2

22 f ()=0 2 ( +2ln )=0 لدينا أو =0 ln = 2 أو =0 = e ( e,0) (0,0) إذن يقطع محور الفاصيل في النقطتين و ج) رسم المنحنى 22

23 ترين 5 D=[ 0;[ ];+ [ لتكن f الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة بما يلي f ()=( ln )2. f (0)0 إذا كان 0. (O, i, j) وليكن منحناها في معلم متعامد ممنظم - أ) بين أن f متصلة اليمين في النقطة 0..0 ب) بين أن f قابلة للشتقاق اليمين في النقطة f ( ) f ( ) أحسب النهايتين التاليتين و -2 ]0;[ ];+ [ 3- أ) تحقق أنه لكل من f () = ln ( ln 2 ). ب) أدرس الفروع اللنهائية للمنحنى. y= ج) حدد تقاطع المنحنى والمستقيم الذي معادلته من لكل ];+ [ ]0;[ f ' ln ( )=( )( ln 2 ln +2 ) ln ln 2 4- أ) بين أن. f ب) اعط جدول تغيرات الدالة ج). أرسم المنحنى 23

24 حل التمرين 5 0 اتصال f - أ) يمين.0 لنحسب نهاية f يمين f ( )= 0 0 >0 >0 ( ln )2 =0 ( 0 >0 (لن =0 ln 0 f ب) قابلية اشتقاق يمين. D ليكن عنصرا من 0 f ( ) f (0) = 0 0 >0 >0 ( ln )2 0 0( = = >0 ln )2 لدينا ( 0 >0 (لن =0 ln 0 f إذن قابلة للشتقاق يمين f d ' (0)= ولدينا 24

25 2- حساب النهاية الولى. D ليكن عنصرا من ( f ( )= =+ ln )2 لدينا ( ( = ln )2 (لن 3- أ) التحقق من المتساوية. ]0;[ ];+ [ ليكن عنصرا من f () =( ln )2 = [( ln )2+] = [( ln + )( ln )] = ( ln )( 2 ln ) f () = ln ( ln 2 ) إذن ب) دراسة الفروع اللنهائية f ( )=+ * لدينا = ومنه يقبل مستقيما مقاربا معادلته 25

26 f ( )=+ * لدينا f ( ) لنحسب f ( ) = ( ln )2 = ( ln )2 = ( (لن =0 ln ( f ( ) ) لنحسب ( f ( ) )= ( ln ln 2 ) لدينا = ( ln 2 ) = 2 ln =+ لن و. + y= إذن يقبل فرعا شلجميا في اتجاه المستقيم بجوار y= تقاطع ج) والمستقيم. D ليكن عنصرا من f ()= ( ln )2 = لدينا 26

27 0 إذا كان f ()= ( ln )2 فإن = أو = ln ln = أو =0 ln ln =2 ln 0 وبما أن f ()= ln = 2 فإن 2 =e ولدينا من جهة أخرى 0=(0) f O(0,0) A( e 2,e 2) y= إذن يقطع المستقيم في النقطتين و -4 أ) حساب ) f ' (.0 D ليكن عنصرا من ويخالف f ' ( )=[ ( ln )2 ]' ولدينا = ( ln )2 +2 ( ln )( = ( ln )( ln + 2 (ln ) 2) 2) (ln ) 27

28 ( ln )( = ln2 ln +2) ln ln 2 ب) جدول تغيرات f Δ= 8= 7 مميز ثلثية الحدود 2+ 2 هو ومنه منR لكل 2 +2>0 ln ln وبالتالي فإن إشارة ) f ' ( هي إشارة ln 0 إذن f ' ( )=0 ln =0 و ln = =e f ' ( )>0 (ln ) ln >0 0 ln و ln أو > ln <0 >e أو < جدول التغيرات 0 e + f ' ( ) f () f (e)=e( ln e)2 =0 28

29 ج) رسم المنحنى 29

Σχετικά έγγραφα

- سلسلة -2. f ( x)= 2+ln x ثم اعط تأويل هندسيا لهاتين النتيجتين. ) 2 ثم استنتج تغيرات الدالة مع محور الفاصيل. ) 0,5

- سلسلة -2. f ( x)= 2+ln x ثم اعط تأويل هندسيا لهاتين النتيجتين. ) 2 ثم استنتج تغيرات الدالة مع محور الفاصيل. ) 0,5 تارين حلل ف دراسة الدال اللغاريتمية السية - سلسلة - ترين ]0,+ [ لتكن f الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة على المجال بما يلي f ( )= +ln. (O, i, j) منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم + f ( ) f ( )